Az f függvény monoton növekvő az értelmezési tartomány valamely H részhalmazán, ha a H halmaz bármely két (x1, x2) elemére teljesül: ha x1 < x2, akkor f(x1) £ f(x2). (Növekvő független változókhoz növekvő függvényértékek tartoznak.) Az f függvény monoton csökkenő az értelmezési tartomány valamely H részhalmazán, ha a H halmaz bármely két (x1, x2) elemére teljesül: ha x1 < x2, akkor f(x1) ³ f(x2). (Növekvő független változókhoz csökkenő függvényértékek tartoznak.)
Intervallum (számköz): a számegyenes egy szakasza. Két végpontja közötti számok halmaza. A végpontjaihoz tartozó számokról nevezzük el.
[4; 9] intervallum [-7; 2,6] intervallum [a; b] intervallum		Zárt intervallumok. A végpontok is beletartoznak a számhalmazba. (Zártságát a zárójelek jelzik:[ ] )
]-4; 3[ intervallum ]4,7; 18[ intervallum vagy (-4; 3) intervallum (4,7;18) intervallum		Nyitott intervallumok. A végpontok nem tartoznak bele a számhalmazba. (Nyitottságát a zárójelek jelzik: ] [ vagy ( ) )
Az f függvény értelmezési tartományának x0 pontja maximumhely, ha a hozzá tartozó függvényérték, f(x0) az értékkészlet legnagyobb eleme. Az f(x0) értéket a függvény maximumának nevezzük. Minden x ÎÉTf esetén f(x) < f(x0) Az f függvény értelmezési tartományának x0 pontja minimumhely, ha a hozzá tartozó függvényérték, f(x0) az értékkészlet legkisebb eleme. Az f(x0) értéket a függvény minimumának nevezzük. Minden x ÎÉTf esetén f(x) > f(x0) A függvény maximumát és minimumát közös néven a függvény szélsőértékeinek nevezzük.
Az f függvény értelmezési tartományának x0 pontja zérushely, ha a hozzá tartozó függvényérték 0, azaz f(x0) = 0. Ebben a pontban metszi, vagy érinti a függvény grafikonja az x tengelyt.
A függvényvizsgálat lépései az általános iskolában:
1. A függvény értelmezési tartományának meghatározása. ÉT (Ha nincs megadva.) 2. A függvény értékkészletének meghatározása. ÉK 3. A függvény zérushelyeinek meghatározása. 4. A függvény monotonitásának vizsgálata. Monoton növekvő: az intervallumok megadása. Monoton csökkenő: az intervallumok megadása. 5. Szélsőértékek meghatározása: Maximumhely, maximum. Minimumhely, minimum.
Példa
Vizsgáljuk a grafikonjával adott f valós függvényt a megadott szempontok szerint!
1. ÉTf: [a; e] Másképp megadva: a £ ÉTf £ e 2. ÉKf: [h; g] Másképp megadva: h £ ÉKf £ g 3. Zérushely: x = k, x = m 4. a. A függvény monoton növekvő: [a; b] [h; d] b. A függvény monoton csökkenő: [b; h] [d; e] 5. c. Maximumhely: x = b, maximum: f(b) = g d. Minimumhely: x = c, minimum: f(c) = h