TÉTEL: (Állítás):

A háromszög magasságegyenesei egy pontban, a magasságpontban metszik egymást.

Bizonyítás:

Tükröztük az ABC háromszög mindhárom csúcsát a szemközti oldal felező pontjára:

Bebizonyítjuk, hogy az ABC háromszög magasságegyenesei az A’B’C’ háromszögnek oldalfelező merőleges egyenesei, amelyek — az 1. tétel szerint — egy pontban metszik egymást.

Az ABCB’ négyszög, az ABA’C négyszög és az AC’BC négyszög paralelogramma, mert átlóik felezik egymást.

A paralelogramma szemközti oldalai párhuzamosak, ezért az A’C és CB’ szakaszok párhuzamosak az AB szakasszal, így egymással is. Mivel van egy közös pontjuk, a C pont, a két szakasz egy egyenesen van.

Ugyanígy bizonyítható, hogy

— a C’, A és B’ pontok egy egyenesen vannak

— a C’, B és A’ pontok egy egyenesen vannak

Ezt azért volt fontos tisztázni, hogy belássuk: az A, A’, B, B’, és C, C’ pontokat tartalmazó sokszög háromszög.

A paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, ezért az A’C és CB’ szakaszok egyenlő hosszúak az AB szakasszal, így egymással is. Ebből következik, hogy a C pont az A’B’ szakasz felezőpontja.

Mivel a C pont az ABC háromszög csúcsa is, ezért illeszkedik az ABC háromszög m_c magasságegyenesére.

Az m_c tehát átmegy a C ponton, és így felezi az A’B’C’ háromszög A’B’ oldalát. Most azt kell igazolni, hogy merőleges erre az oldalra.

A paralelogramma szemközti oldalai párhuzamosak, ezért az AB szakasz párhuzamos az A’C és a CA’ szakaszokkal, így az A’B’ oldallal is.

Az m_c mint az ABC háromszög magasságegyenese merőleges az AB oldalra és a vele párhuzamos A’B’ oldalra is.

Bebizonyítottuk, hogy m_c merőleges az A’B’ oldalra és felezi azt, tehát az A’B’ oldal oldalfelező merőlegese.

Ugyanígy bizonyítható, hogy m_a és m_b is az A’B’C’ háromszög oldalfelező merőleges egyenesei. Az 1. tétel szerint az oldalfelező merőleges egyenesek egy pontban metszik egymást.

Az m_a, m_b, m_c egyenesek tehát egy pontban metszik egymást.

Ezt akartuk bizonyítani.