(olvasd: négyzetgyök a) (a ³ 0, aÎ R) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. : négyzetgyök
Ha = b (a, b ³ 0), akkor mindkét oldalt négyzetre emelve kapjuk, hogy a = b^2.
A a = b^2jól szemlélteti, hogy a gyökjel alatt lévő a szám sosem lehet negatív, hiszen a páros kitevőjű hatványok mindig nem negatívak. Ebből következik, hogy a ; ; stb. értelmetlenek.
Példa
		mert	3^2 = 9
		mert	5^2 = 25
		mert	7^2 = 49
		mert	9^2 = 81
		mert	2,236^2 » 5
A négyzetgyökvonás nem végezhető el korlátozás nélkül a racionális számok halmazában. A művelet eredménye lehet irracionális szám. Pl.: irracionális számok. Ezek tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos tizedes tört.
értéke kétoldali közelítéssel kiszámolható.
	Példa
Becsüljük meg értékét kétoldali közelítéssel! (Ne feledjük, hogy azt a nemnegatív számot jelenti, amelynek a négyzete 5!)
2 < < 3 mert 2^2 = 4 < 5 < 3^2 = 9 2 < < 2,5 mert 2^2 = 4 < 5 < 2,5^2 = 6,25 2 < < 2,25 mert 2^2 < 5 < 2,25^2 = 5,0625 2,125 < < 2,25 mert 2,125^2 = 4,5156 < 5 < 2,25^2 = 5,0625 2,1875 < < 2,25 mert 2,1875^2 = 4,7851 < 5 < 2,25^2 = 5,0625
Kiderült, hogy a 2,1875 és a 2,25 közé eső szám. Tovább folytatva, még nagyobb pontossággal kerülnénk közelebb -höz, amely végtelen nem szakaszos tizedes tört, mert irracionális szám.
Bizonyítsuk be, hogy irracionális szám! Az irracionális számok pontosan azok a valós számok, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Bizonyítsuk tehát azt, hogy nem írható fel két egész szám hányadosaként! A bizonyítást indirekt (közvetett, nem egyenes) módon végezzük. Ennek a lényege, hogy állítunk valamit. Azután, ennek a tagadásáról bebizonyítjuk, hogy nem igaz, amiből aztán az eredeti állításunk igazsága következik. (Az indirekt bizonyításra az oldal alján próbálok egy hétköznapi példát adni.)
Bizonyítandó: A nem írható fel két egész szám hányadosaként. Tegyük fel: A felírható két egész szám hányadosaként! (Vegyük észre, hogy ez a bizonyítani kívánt állításunk tagadása.) Ha felírható, hát írjuk fel! = ahol a, b Î Z, és legnagyobb közös osztójuk 1. (a;b) = 1. Vegyük az egyenlet mindkét oldalának a négyzetét, majd szorozzuk mindkét oldalt b^2-tel! 5 = // * b^2 5b^2= a^2 A bal oldal osztható 5-tel, de akkor a vele egyenlő jobb oldal is osztható 5-tel. Az 5 prímszám, ezért a^2 csak akkor osztható 5-tel, ha a is osztható 5-tel. Ekkor viszont a^2 osztható 25-tel. Ha a osztható 5-tel, akkor felírható a= 5*d alakban, ahol d egész szám. Ekkor a^2 =(5*d)*(5*d) ahonnan a^2 =25*d*d. A jobb oldal osztható 25-tel, akkor a vele egyenlő bal oldal is osztható 25-tel, ami csak úgy lehetséges, ha b osztható 5-tel, vagyis az 5 közös osztója a-nak és b-nek, ami nyilvánvalóan hamis, hiszen kezdő kikötésként szerepelt, hogy a és b legnagyobb közös osztója 1. Az a feltevés, hogy a felírható két egész szám hányadosaként, az 5b^2= a^2 hamis állításhoz vezetett. Így a felírható két egész szám hányadosaként állítás hamis. Ekkor azonban igaz az ellentettje: nem írható fel két egész szám hányadosaként, azaz irracionális szám. Ezzel eredeti állításunkat bebizonyítottuk.
Nézzünk egy példát indirekt bizonyításra: Házatokban 10 helyiség van, ezek közül az egyik a gyerekszoba ezt jelöljük A-val. Testvéred – TESÓ – otthon van, és az egész család tudja, hogy a helyiségek valamelyikében tartózkodik. De melyikben? – Hol van TESÓ? – kérdezi ANYU. – TESÓ az A-ban van. – válaszolsz. (Ezt az állítást kell majd bizonyítanod.) – Tévedsz. TESÓ nem az A-ban van! – mondja ANYU. (Ez az új állítás. Ez a te állításod tagadása. E szerint TESÓ az A-n kívüli kilenc helyiség valamelyikében tartózkodik. Ha erről bebizonyítod, hogy hamis, akkor TESÓ csak az A-ban lehet, vagyis bizonyítod saját állításod igaz voltát, hisz azt tudjuk, hogy TESÓ a házban lévő helyiségek valamelyikében van.) – Kérlek ANYU, gyere velem! – Kinyitod az A szoba kivételével a lakás minden helyiségének az ajtaját. Minden helyiség üres. Bebizonyítottad, hogy az az állítás, hogy TESÓ nem az A-ban van, hamis. – Igazat mondtál – ismeri el ANYU. (Ha egyedül az A szoba ajtaját nyitod ki, és megmutatod, hogy ott van a TESÓ, az direkt, közvetlen bizonyítás lett volna, és esetünkben egyszerűbb is. De mi a helyzet akkor, ha az A szoba ajtaja zárva, a kulcs elveszett, a szoba a tetőtérben van, így az ablakon sem lehet benézni, és senki nem válaszol a dörömbölésre. Előfordul, hogy valamely állítást indirekt módon, kerülő úton célszerű bizonyítani.)