Hány óra van? Bárcsak esne az eső! Hozd ide a széket! A bálna tengeri emlős.
Matematika órán kitüntetett szerepe van a kijelentő mondatnak, a többi mondatfajtához képest. Mégpedig azért, mert a többiekkel ellentétben minden kijelentő mondatnak van igazságértéke. Az igazságérték azt jelenti, hogy minden kijelentő mondat vagy igaz, vagy hamis. Harmadik lehetőség nincs. (A kérdő, felszólító, felkiáltó, óhajtó mondatok nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal.)
A kijelentő mondatot a matematikában állításnak (ítéletnek) nevezzük.
Nézzünk néhány állítást, és vizsgáljuk meg az igazságértéküket!
Magyarország fővárosa Kecskemét.	HAMIS
Egy évben 12 hónap van.	IGAZ
Hat nagyobb, mint kilenc.	HAMIS
A bálna tengeri emlős.	IGAZ
A Holdon még nem járt ember.	HAMIS
A Marson van élet.	Jelenlegi ismereteink szerint ezt nem tudjuk eldönteni, de az állítás ettől függetlenül vagy igaz, vagy hamis.
Az olyan kijelentő mondatot, amelynek nem ismerjük az alanyát, nyitott mondatnak nevezzük. A nyitott mondatnak nincs igazságértéke. A nyitott mondat se nem igaz, se nem hamis.
A következő mondatok nyitott mondatok:
Magyarország fővárosa …………….... Egy évben 12 ………… van. ……….. nagyobb, mint kilenc. A ………… tengeri emlős. A Holdon még nem járt ……………... A Marson van ……………..
A nyitott mondat megoldása: A hiányzó alany helyére egy adott csoportból (halmazból) olyan elemet helyettesítünk, amellyel kiegészítve a mondatot, igaz állítást kapunk.
Alaphalmaz: Az a halmaz, amelyben a nyitott mondat megoldásait keressük.
Megoldáshalmaz (igazsághalmaz): Az alaphalmaznak azok az elemei alkotják, amelyek igazzá teszik a nyitott mondatot.
Ha egy feladat nem adja meg az alaphalmazt, akkor mindig az értelem szerinti legnagyobb halmazt tekintjük annak.
Nézzük az előző nyitott mondatok egy-egy lehetséges megoldását!
Magyarország fővárosa Budapest. Egy évben 12 hónap van. Húsz nagyobb, mint kilenc. A bálna tengeri emlős. A Holdon még nem járt víziló. A Marson van robot.
Ha az alaphalmaz minden eleme igazzá teszi a nyitott mondatunkat, akkor a nyitott mondat az adott alaphalmazon azonosság. Ilyenkor az alaphalmaz megegyezik a megoldáshalmazzal.
Ha az alaphalmaz egyetlen eleme sem teszi igazzá a nyitott mondatunkat, akkor a nyitott mondatnak az adott alaphalmazon nincs megoldása. Ilyenkor a megoldáshalmaz üres halmaz.