TÉTEL: (Állítás):

A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja. (Minden háromszög köré írható olyan kör, amely átmegy a háromszög csúcsain.)

Bizonyítás:

Vegyük fel az a és b oldal felezőmerőlegeseit! f_a és f_b csak akkor lehetnének párhuzamosak, ha a hozzájuk tartozó oldalak is párhuzamosak lennének egymással, ami háromszög esetén lehetetlen. Tehát f_a és f_b metszők, a metszéspont O.

Bizonyítandó:

f_c is átmegy az O ponton.

A bizonyításnál felhasználjuk a szakaszfelező merőleges egyenesnek azt a tulajdonságát, hogy minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz végpontjaitól, és hogy minden olyan pontot tartalmaz, amely egyenlő távolságra van a szakasz végpontjaitól.

Az O pont illeszkedik az f_a oldalfelezőre, ezért

OB = OC

Az O pont illeszkedik az f_b oldalfelezőre, ezért

OA = OC

A két egyenlet jobb oldala megegyezik, ezért a bal oldalak is egyenlők.

OB = OA

Ami azt jelenti, hogy az O pont egyenlő távolságra van a c oldal A és B végpontjától, vagyis rajta van a c oldal oldalfelező merőlegesén, f_c-n.

Bebizonyítottuk, hogy mindhárom oldalfelező merőleges egyenes közös metszéspontja az

O pont.

OB = OA = OC

Az O pont a háromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra van, ezért az O pont az ABC háromszög csúcsaira illeszkedő kör középpontja