Kapcsolat, hozzárendelés, reláció: Adott A és B nem üres halmazok elemeiből alkossunk rendezett párokat, az összes lehetséges módon úgy, hogy a pár első eleme mindig az A, a második eleme mindig a B halmazból kerüljön ki! Az így kapott, párokból álló halmaz bármely nem üres részhalmazát az A és B halmaz elemei közötti kapcsolatnak, hozzárendelésnek, relációnak nevezzük.

(A párok attól rendezettek, hogy első tagjuk mindig az A halmazból, második tagjuk, pedig mindig a B halmazból kerül ki.)

Az A és B halmaz elemeiből rendezett párokat képző műveletet (A két halmaz Descartes-szorzatát.) A Ï B-vel jelöljük. (Olvasd: a kereszt b)

Példa

Írjuk fel az A és B táblára néhány gyerek nevét!

(Az A táblára felírt gyerekek az A halmazba, a B táblára felírt gyerekek a B halmazba tartoznak.)

A:= {Jancsi; Peti; Kati; Éva}

B:= {Zoli; Mari; Anna}

Az A és B halmazba tartozó gyerekekből alkotható összes rendezett pár:

A Ï B = {(Jancsi; Zoli), (Jancsi; Mari), (Jancsi; Anna), (Peti; Zoli), (Peti; Mari), (Peti; Anna), (Kati; Zoli), (Kati; Mari), (Kati; Anna), (Éva; Zoli), (Éva; Mari), (Éva; Anna)}

Az A táblára felírt gyerekek keressenek társat maguknak a B táblára írt gyerekek közül, és mondjuk, fogjanak vele kezet! Ennek a társkeresésnek legyen egy feltétele, mégpedig, hogy azt válasszák társnak, akivel egy utcában laknak. Így előfordulhat, hogy valamelyik A táblabeli gyerek több B táblabelivel is párt alkothat, és fordítva.

A párok kialakulásával a két csoport között kapcsolat, reláció jön létre.

(A továbbiakban a kapcsolat szó helyett időnként, a vele megegyező, a matematikában alkalmazott reláció szót használjuk.)

Bárhogyan alakulnak is ki, a létrejövő párok biztosan benne vannak az A Ï B halmazban, amely a két gyerekcsoport közötti összes lehetséges párt megadja. Belátható, hogy a párkereséssel kialakult, a párokkal jellemzett kapcsolat valóban az A Ï B halmaz részhalmaza.

Nézzünk egy lehetséges párosítást!

Jancsi és Peti egyaránt Zolit, Kati, pedig Marit kapta társnak. Éva nem kapott párt. Ebben a kapcsolatban Annának sincs párja. (Éva és Anna esetében ez most azt jelenti, hogy a másik táblán lévő nevek tulajdonosai közül senki sem lakik velük egy utcában.)

A létrejött relációt nevezzük r-nek!

A továbbiakban azt fogjuk vizsgálni, hogyan lehet tudatni a párosítás eredményeként létrejött kapcsolatot minél pontosabban, minél szemléletesebben, és a matematika elvárásainak megfelelően az érdeklődőkkel.

Előbb azonban vezessünk be néhány új fogalmat!

Az a halmaz, ahonnan a rendezett párok első elemei kerülnek ki az alaphalmaz. A második elemeket tartalmazó halmaz a képhalmaz. A két halmaz elemei között lehetnek azonosak is, sőt az alaphalmaz és a képhalmaz meg is egyezhet.

A reláció értelmezési tartománya: az alaphalmaznak azok az elemei alkotják, amelyekhez az adott kapcsolatban tartozik képhalmazbeli elem. (Amelyekből nyíl indul ki.) Az értelmezési tartomány jele legyen: ÉT

Példánkban:

ÉT = {Jancsi; Peti; Kati}

A reláció értékkészlete: a képhalmaznak azok az elemei alkotják, amelyekhez az adott kapcsolatban tartozik alaphalmazbeli elem. (Amelyekhez nyíl mutat.) Az értékkészlet jele legyen: ÉK

Példánkban:

ÉK = {Zoli; Mari}

A kapcsolatot, relációt akkor tekintjük megadottnak, ha ismert az alaphalmaz, a képhalmaz, és egyértelműen kiderül, hogy az alaphalmaz bármely eleméhez melyik elem tartozik a képhalmazban.