ÖSSZEG OSZTÁSA

Összeget úgy is oszthatunk egy számmal, hogy minden tagot osztunk az osztóval. Az eredményt a hányadosok összege adja.

Példa

( 8 + 6 + 4 + 10 ) : 2 = 8:2 + 6:2 + 4:2 + 10:2 = 4 + 3 + 2 + 5 = 14

Ha a műveleti sorrendnek megfelelően először elvégezzük a zárójelben az összeadást, majd az így kapott összeget osztjuk, az eredmény természetesen ugyanez lesz: (8 + 6 + 4 + 10) : 2 = 28 : 2 = 14

ÖSSZEG OSZTHATÓSÁGA
Összegről az összeadás elvégzése nélkül is eldönthető, hogy osztható-e egy számmal.
Összeg akkor osztható egy számmal, ha a tagonként meghatározott maradékok összege osztható a számmal.
Példa
a.
A 18 + 35 + 73 összeg osztható-e 7-tel? Osszunk el minden tagot 7-tel maradékosan, és a 7-es maradékot írjuk a tag fölé!
18 : 7 = 2 4		35 : 7 = 5 0		73 : 7 = 10 3
		4 0 3
		18 + 35 + 73
Nézzük a maradékok összegét! 4 + 0 + 3 = 7 A maradékok összege osztható 7-tel, akkor az összeg is osztható 7-tel. A 18 + 35 + 73 összeg osztható 7-tel. Ellenőrzés: 18+35+73= 126 126 : 7 = 18, és a maradék 0.
b.
A 34 + 45 + 93 + 2 összeg osztható-e 9-cel? Osszunk el minden tagot 9-cel maradékosan, és a 9-es maradékot írjuk a tag fölé!
34 :9 = 3 7	45 :9 =5 0		93 : 9 = 10 3		2 : 9 = 0 2
		7 0 3 2
		34 + 45 + 93 + 2
Nézzük a maradékok összegét!
7 + 0 + 3 + 2 = 12 A maradékok összege nem osztható 9-cel, 9-cel osztva 3 maradékot ad. Így az összeg sem osztható 9-cel. A 34 + 45 + 93 + 2 összeg 9-cel osztva 3 maradékot ad
Ellenőrzés: 34 + 45 + 93 + 2 = 174 174 : 9 = 19, és a maradék 3.
SZORZAT OSZTÁSA
Szorzatot úgy is oszthatunk egy számmal, hogy pontosan az egyik szorzótényezőt osztjuk a számmal.
Példa
(9 * 12 * 5 * 4 * 20) : 4 = 9 * (12:4) * 5 * 4 * 20 =9 * 3 * 5 * 4 * 20=10800 vagy (9 * 12 * 5 * 4 * 20) : 4 = 9 * 12 * 5 * (4:4) * 20 = 9 * 12 * 5 * 1 * 20 =10800
{A művelet úgy is elvégezhető, hogy először elvégezzük a zárójelben lévő szorzásokat, majd a kapott szorzatot osztjuk 4-gyel. (9 * 12 * 5 * 4 * 20) : 4 = 43200 : 4 = 10800 }
SZORZAT OSZTHATÓSÁGA
Szorzatról a szorzás elvégzése nélkül is eldönthető, hogy osztható-e egy számmal.
Szorzat akkor osztható egy számmal, ha felírható olyan alakban, hogy a szorzótényezők között szerepel a szám.
Példa
a.
28 * 55 * 24 szorzat osztható-e 420-szal? Írjuk fel minden szorzótényező prímtényezős alakját!
28 = 2 * 2 * 7 55 = 5 * 11 24 = 2 * 2 * 2 * 3
Írjuk fel a 420 prímtényezős alakját! 420 = 2 * 2 * 3 * 5 * 7 Ezeket a tényezőket (Kettő darab 2-est, egy darab 3-ast, egy darab 5-öst, egy darab 7-est.) kell megtalálnunk a szorzatban, hogy osztható legyen 420-szal. 28 * 55 * 24 = (2 * 2 * 7) * (5 * 11) * (2 * 2 * 2 * 3) = =(2 * 2 * 3 * 5 * 7) * 2 * 2 * 2 * 11 = = 420 * 2 * 2 * 2 * 11 A szorzat osztható 420-szal.
b.
28 * 55 * 24 szorzat osztható-e 175-tel?
Írjuk fel a 175 prímtényezős alakját! 175 = 5 * 5 * 7 Ezeket a tényezőket (Kettő darab 5-öst, egy darab 7-est.) kell megtalálnunk a szorzatban, hogy osztható legyen 175-tel. Írjuk fel minden szorzótényező prímtényezős alakját!
28 = 2 * 2 * 7 55 = 5 * 11 24 = 2 * 2 * 2 * 3
28 * 55 * 24 = (2 * 2 * 7) * (5 * 11) * (2 * 2 * 2 * 3) A szorzatban az 5 csak egyszer fordul elő, míg a 175 prímtényezős alakjában kétszer. Tehát egy darab 5-ösünk hiányzik, vagyis a szorzat nem írható fel olyan alakban, hogy a tényezők között szerepel a 175. A szorzat nem osztható 175-tel.
c.
Nem kell feltétlenül az osztó prímtényezős alakját keresni, bármely szorzatalak megfelel. A következő példában a 24-nek a 6 * 4 alakját használjuk.
A 36 * 20 * 19 * 51 * 99 szorzat osztható 24-gyel, mert fölírható (6 * 6) * (4 * 5) * 19 * 51 * 99 = = 6 * (6 * 4) * 5 * 19 * 51* 99 = 6 * 24 * 5 * 19 * 51 * 99 alakban, ahol a szorzótényezők között szerepel a 24 .