OSZTÓK MEGKERESÉSE PRÍMTÉNYEZŐS ALAK SEGÍTSÉGÉVEL

 

Példa

 

1.

 

Keressük meg az 54 osztóit!

 

1. lépés:

 

   Írjuk fel 54 prímtényezős alakját!

 

54 = 2 * 3 * 3 * 3 = 2 * 33

 

2. lépés:

 

   Határozzuk meg az osztóinak a számát!

 

(1 + 1) * (3 + 1) = 8

 

3. lépés:

 

   Alkalmazzuk a prímtényezős alakra a szorzat oszthatóságáról tanultakat. (Szorzat akkor osztható egy számmal, ha felírható olyan alakban, hogy a szorzótényezők között szerepel a szám.)

 

 

   Az 54 prímtényezős alakjában szereplő számokat tekintsük számkártyáknak. Az 54 osztói a számkártyákon lévő számok, és ezek szorzatai.

 

A következő számkártyáink vannak:

 

               

 

   Az ezeken lévő számok osztói az 54-nek. Ezek az egy tényezős osztói.

 

   Alkossuk meg az összes, két számkártyából álló szorzatot!  (Ezek a szorzatok osztói az 54-nek. Két tényezős osztók.)

 

  *                           

  * 

 

 

   Alkossuk meg az összes, három számkártyából álló szorzatot!  (Ezek a szorzatok osztói az 54-nek. Három tényezős osztók.)

 

  *    * 

  *    * 

 

 

   Alkossuk meg az összes, négy számkártyából álló szorzatot!  (Ezek a szorzatok osztói az 54-nek. Négy tényezős osztók.)

 

  *    *    * 

 

 

   Összesen négy számkártyánk van, tehát több számkártyából álló szorzatot nem tudunk felírni.

 

   Csoportosítsuk az osztókat aszerint, hogy hány prímszám szorzataként írhatók fel. Például a 9 a kéttényezős osztók csoportjába tartozik, mert olyan osztója az 54-nek, amely két prímszám szorzataként írható fel: 9 = 3 * 3.

 

 

Nulltényezős osztók:

1

   (Az egy minden számnak osztója, de nem prímszám, és nem írható fel prímszámok szorzataként, tehát nulla darab prímszám szorzatának tekintjük.)

 

Egytényezős osztók:

2;  3

 

Kéttényezős osztók:

(2*3) = 6;  (3*3) = 9

 

Háromtényezős osztók:

(2*3*3) = 18; (3*3*3) = 27

 

Négytényezős osztók:

(2*3*3*3) = 54

 

 

   Öt tényezős osztót nem érdemes keresnünk, hiszen az 54 prímtényezős alakja 4 tényezőből áll.

 

   Számoljuk össze az osztókat, hogy mindet megtaláltuk-e. Ahogy még az elején kiszámoltuk, nyolc darab osztónak kell lenni.

 

 

2.

 

Keressük meg a 120 osztóit!

 

1. lépés:

 

   Írjuk fel 120 prímtényezős alakját!

 

120 = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 23 * 3 *5

 

2. lépés:

 

   Határozzuk meg az osztóinak a számát!

 

(3 + 1) * (1 + 1) * (1 + 1)  = 16

 

3. lépés:

   Alkalmazzuk a prímtényezős alakra, a szorzat oszthatóságáról tanultakat. (Szorzat akkor osztható egy számmal, ha felírható olyan alakban, hogy a szorzótényezők között szerepel a szám.) Nézzük, milyen osztókat tudunk előállítani ezekből a tényezőkből! Csoportosítsuk az osztókat aszerint, hogy hány prímszám szorzataként írhatók fel. Például a 15 a kéttényezős osztók csoportjába tartozik, mert olyan osztója a 120-nak, amely két prímszám szorzataként írható fel: 15 = 3 * 5.

 

 

Nulltényezős osztók:

1

(Az egy minden számnak osztója, de nem prímszám, és nem írható fel prímszámok szorzataként, tehát nulla darab prímszám szorzatának tekintjük.)

 

Egytényezős osztók:

2;  3;  5

 

Kéttényezős osztók:

(2*2) = 4;  (2*3) = 6;  (2*5) = 10;

(3*5) = 15

 

Háromtényezős osztók:

(2*2*2) = 8; (2*2*3) = 12; 

(2*2*5) = 20; (2*3*5) = 30

 

Négytényezős osztók:

(2*2*2*3) = 24;  (2*2*2*5) = 40;

 (2*2*3*5) = 60;

 

Öttényezős osztók:

(2*2*2*3 *5) = 120

 

   Hat tényezős osztót nem érdemes keresnünk, hiszen a 120  prímtényezős alakja 5  tényezőből áll.

   Számoljuk össze az osztókat, hogy mindet megtaláltuk-e! Ahogy még az elején kiszámoltuk, tizenhat darab osztónak kell lenni.