Két vagy több szám közös osztói közül a legnagyobbat, a számok legnagyobb közös osztójának nevezzük.

 

Jelölése: (a; b) =

 

Olvasd így! Az a és b számok legnagyobb közös osztója.

 

   A legnagyobb közös osztó többszöröse az összes közös osztónak.

 
 
 
 
 
Legnagyobb közös osztó meghatározása
az osztópáros módszer segítségével:

 

   Minden számnak megkeressük az osztóit, majd a közös osztók közül kiválasztjuk a legnagyobbat.

 

Példa

 
 
1.
 
 

Keressük meg a 126, és a 210 legnagyobb közös osztóját!

 

(126; 210) = ?

 

126 osztói: 1; 2; 3; 6; 7; 9;  14; 18; 21; 42; 63; 126

 

210 osztói: 1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35; 42; 70; 105; 210

 

126 és 210 közös osztói:  1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42. 

 

A közös osztók közül a legnagyobb: 42.

 

(126; 210) = 42

 
 
 

2.

 
 
 

Keressük meg a 126; 140, és a 210 legnagyobb közös osztóját!

 

(126; 140; 210) = ?

 

126 osztói: 1; 2; 3; 6; 7; 9;  14; 18; 21; 42; 63; 126

 

140 osztói: 1;  2;  4;  5; 7; 10; 14;  20;  28;  35;  70; 140

 

210 osztói: 1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35; 42; 70; 105; 210

 

126; 140 és 210 közös osztói:  1; 2; 7, 14 

 

A közös osztók közül a legnagyobb: 14

 

(126; 140; 210) = 14

 
 
 

 

   Legnagyobb közös osztó meghatározása a prímtényezős felbontás segítségével: Két, vagy több szám legnagyobb közös osztóját úgy is megkaphatjuk,  hogy a prímhatványtényezős alakjukban szereplő közös prímtényezőket  az előforduló legkisebb hatványkitevővel véve összeszorozzuk.

 
 
 

Példa

 

 

1.

 
 
 

Keressük meg a 630, és a 756 legnagyobb közös osztóját!

 

(630; 756) = ?

 

630 = 2 * 3 * 3 * 5 * 7

 

756 = 2 * 2* 3 * 3 * 3 * 7

 

   Használjuk a prímhatványtényezős alakot!

 

630 = 2 * 32 * 5 * 7

 

756 = 22 * 33 * 7

 

   A közös prímtényezők a 2; 3 és a 7. Keressük meg ezek legkisebb kitevős előfordulását, és vegyük ezek szorzatát!

 

630 = 2 * 32 * 5 * 7

 

756 = 22 * 33 * 7

 

(630; 756) = 2 * 32 * 7 = 126

 
 
 

2.

 

Keressük meg a 405; 630, és a 756 legnagyobb közös osztóját!

 

(405; 630; 756) = ?

 

405 = 3 * 3 * 3 * 3 * 5

 

630 = 2 * 3 * 3 * 5 * 7

 

756 = 2 * 2* 3 * 3 * 3 * 7

 

   Használjuk a prímhatványtényezős alakot!

 

405 = 34 * 5

 

630 = 2 * 32 * 5 * 7

 

756 = 22 * 33 * 7

 

   A közös prímtényező a 3. Keressük meg a legkisebb kitevős előfordulását.

 

405 = 34 * 5

 

630 = 2 * 32 * 5 * 7

 

756 = 22 * 33 * 7

 

(405; 630; 756) = 32 = 9

 
 
 
 
 
Relatív prímek: 
   Ha két vagy több szám legnagyobb közös osztója 1, akkor a számok relatív prímek.
 
 
 

Példa

 
 
 

1.

 

Keressük meg a 14 és 27 legnagyobb közös osztóját!

 

(14; 27) =

 

14 osztói : 1; 2; 7; 14

 

27 osztói: 1;  3; 9;  27

 

(14; 27) = 1

 
 
A 14 és a 27 relatív prímek.

2.

 
 
 

Keressük meg a 14, 25 és 27 legnagyobb közös osztóját!

 

(14; 25; 27) =

 

14 osztói : 1; 2; 7; 14

 

25 osztói: 1; 5; 25

 

27 osztói: 1;  3; 9;  27

 

(14; 25; 27) = 1

 
 
A 14, a 25 és a 27 relatív prímek.
 
 

 

   Két szomszédos pozitív egész szám mindig relatív prím.